POLINÔMIOS
Polinômios: é a soma de monômios Ex. 5y + y + 6
Neste caso, 6 é o termo independente. Este polinômio é de um só termo, pois é uma soma de monômios semelhantes (que tem apenas uma parte literal).
Redução de termos independentes
Para obter um polinômio reduzido devemos juntar os monômios semelhantes.
Ex. 3x²y - 4x³ + 2x²y - 5x³ + 7
1- Juntamos 3x²y com 2x²y, pois são semelhantes.
5x²y - 4x³ - 5x³ + 7
2- Juntamos - 4x³ com -5x³, pois são semelhantes.
5x²y -9x³ + 7
Os polinômios reduzidos recebem nomes de acordo com o números de termos.
Monômio: Um só termo Ex. 8x²
Binômio: Dois termos Ex. 8x² + 6
Trinômio: Três termos Ex. 8x² + 4xy + 6
Grau de um polinômio
Antes de obter o grau de um polinômio devemos reduzi-lo. Um numero real é de grau 0 (5 tem grau 0).
O grau de um polinômio é o grau do monômio de maior grau.
2x² + 5x³y + 16
O grau desse polinômio é 4, pois o monômio de maior grau é 5x³y, que o grau é 4.
Polinômio de uma variável
Quando só tem uma letra 1º Ex. 3y³ + 6y² + 2
Na maioria das vezes o polinômio de uma variável vem com os graus dos termos em ordem decrescente (do maior para o menor) (temos que lembrar que um numero inteiro tem grau 0) :
2º Ex. 3y³ + 4y² + 6y - 5
grau: 3 2 1 0
No 1º Ex. podemos ver que os graus dos termos não estão na ordem (está 3, 2, 0), neste caso chamanos de polinômio incompleto e devemos adicionamos os termos que falta com 0 e a variavel com seu respectivo grau, vamos pegar o 1º Ex para mostrar:
1º Ex. 3y³ + 6y² + 2 -------------> 3º Ex. 3y³ + 6y² + 0y + 2
grau: 3 2 0 -------------> grau: 3 2 1 0
No caso acima faltou o grau 1 que adicionamos no 3º Ex com o 0y, transformando o polinômio do 1º Ex em um polinômio Completo.
Adição de polinômios
Basta soma-los e logo após resumi-los. Só podemos juntar termos semelhantes.
(2x + 3y + z) + (4x+2y +z + 9)
Devemos resolver os parênteses, neste caso não tem termos semelhantes dentro de um só parêntese, por isso pulamos esta etapa.
2x + 3y + z + 4x + 2y + z + 9
Juntar os termos semelhantes.
6x + 5y + 2z + 9
Oposto de um polinômio
É só inverter os sinais de todos os termos.
O oposto de -7x² + 4x - 8 é 7x² - 4x + 8
Subtração de um polinômio
Para subtrair um polinômio de outro devemos juntar o primeiro polinômio com o oposto do segundo
(2x + 6a + 14) - (2x - 14)
Colocamos no lugar do segundo polinômio o seu oposto e juntamos o primeiro com o oposto do segundo.
(2x + 6a + 14) + (-2x + 14)
6a + 28
Adição algébrica de polinômios
É uma expressão numérica com adição e subtração.
(2y + 6y² + 14) + (-2y³ + 14) - (4y + 2y³ + 9)
(2y + 6y² - 2y³ + 28) - (4y + 2y³ + 9)
(2y + 6y² - 2y³ + 28) + (-4y - 2y³ - 9)
-2y + 6y² - 4y³ + 19
Atividades são essenciais para aprender matemática
1- Represente por um polinômio cada situação.
a) Idade de João e de sua filha daqui a x anos se hoje ele tem 28 e ela tem 7.
resposta: selecione para visualizar: 28 + x + 7 + x
b) Total de moedas de Marina, se ela tem x moedas de 0,25, y moedas de 0,05 e z de 1,00.
resposta: selecione para visualizar: 0,25x + 0,05y + 1,00z
2- Escreva um exemplo de cada tipo. (resposta pessoal) (selecione para ver sugestão)
a)Monômio: 5x³ (apenas sugestão)
b) Binômio: 5x³ + 4y (apenas sugestão)
c)Trinômio: 5x³ + 4y + 7 (apenas sugestão)
3- Qual dos polinômios abaixo pode ser um trinômio?
a) 7x³y + 4xy³ - 8x³y + 7 x³y -4xy³
b)5a³-3a - 7 - 2 - 7a³ + a - a
c)a²x³ + b²x³ + 2a²x³
resposta: selecione para visualizar: letra B
4- Escreva o polinômio a seguir na forma reduzida e indique seu grau.
5a - 3b + 7a - b - 1a
resposta: selecione para visualizar: 11a - 4b, grau 1
5- Faça os cálculos pedidos com os polinômios a seguir: (selecione para ver a resposta)
a) A + B = -3x² - 10x + 7x³
b) B + A = -3x² - 10x + 7x³
c) A + B + C = -2x² - 3x + 7x³
d) A - B = 15x² - 13x
e) C - (B + A) = 4x² + 10 x
6 - qual é o valor numérico do perímetro P, se x = 5? (selecione para ver a resposta)
P = 6 (x+3)
resposta:selecione para visualizar: P = 48
Multiplicação de polinômios
Monômio por polinômio:
Para multiplicar um monômio por um polinômio basta aplicar a propriedade distributiva, multiplica o monômio por cada termo do polinômio.Você multiplica os coeficientes e depois soma os expoentes da parte literal (se elas forem iguais).
( 2x² + 5x - 8 ) . ( - 5x )
(2x²) . (-5x) + (5x) . (-5x) + (-8) . (-5x)
(-10x²+¹) + (-25x¹+¹) + (40x)
-10x³ - 25x² + 40x
Polinômio por polinômio:
Multiplica cada termo de um polinômio por cada termo do outro polinômio.
podemos montar a conta como se fosse uma multiplicação simples:
5x² + 2x + 3
X 2x +1
_________________
5x² + 2x + 3
10x³ + 4x² + 6x + 0
_________________
10x³ + 9x² + 8x + 3
Portanto, (5x² + 2x + 3) . (2x+1) é igual; á 10x³ + 9x² + 8x + 3.
Divisão de Polinômios
Podemos montar a divisão como uma divisão simples.
6x² - x + 10 | 2x - 1
polinômio 1| polinômio 2
Dividimos o 1º termo do polinômio 1 pelo 1º termo do polinômio 2.
6x² - x + 10 | 2x -1
3x
Multiplica o resultado por cada termo do 2º polinômio e colocamos o oposto do produto obtido embaixo do primeiro monômio, cada monômio deve ficar em baixo de um monômio semelhante. Depois faz a junção dos termos.
6x² - x + 10 | 2x -1
-6x² +3x + 0 3x
_________
2x + 10
Divide o 1º termo do polinômio obtido(2x) pelo 1º termo do polinômio 1(2x)
6x² - x + 10 | 2x -1
-6x² +3x + 0 3x +1
_________
2x + 10
O resultado obtido será multiplicado pelos dois termos do polinômio 2, o oposto do resultado ficara em baixo do resto, cada monômio ficara em baixo de um monômio semelhante, gora junta os monômios semelhantes, formando o resto da divisão.
6x² - x + 10 | 2x -1
-6x² +3x + 0 3x +1
_________
2x + 10
-2x + 1
__________
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IMPORTANTE: Segue A REVISÃO de todo o assunto visto: Clique aqui!
Segue as respostas da REVISÃO:
Boa prova
a) Idade de João e de sua filha daqui a x anos se hoje ele tem 28 e ela tem 7.
resposta: selecione para visualizar: 28 + x + 7 + x
b) Total de moedas de Marina, se ela tem x moedas de 0,25, y moedas de 0,05 e z de 1,00.
resposta: selecione para visualizar: 0,25x + 0,05y + 1,00z
2- Escreva um exemplo de cada tipo. (resposta pessoal) (selecione para ver sugestão)
a)Monômio: 5x³ (apenas sugestão)
b) Binômio: 5x³ + 4y (apenas sugestão)
c)Trinômio: 5x³ + 4y + 7 (apenas sugestão)
3- Qual dos polinômios abaixo pode ser um trinômio?
a) 7x³y + 4xy³ - 8x³y + 7 x³y -4xy³
b)5a³-3a - 7 - 2 - 7a³ + a - a
c)a²x³ + b²x³ + 2a²x³
resposta: selecione para visualizar: letra B
4- Escreva o polinômio a seguir na forma reduzida e indique seu grau.
5a - 3b + 7a - b - 1a
resposta: selecione para visualizar: 11a - 4b, grau 1
5- Faça os cálculos pedidos com os polinômios a seguir: (selecione para ver a resposta)
A= 6x² - 8x B = -9x² - 2x + 7x C = 7x³ + x²
a) A + B = -3x² - 10x + 7x³
b) B + A = -3x² - 10x + 7x³
c) A + B + C = -2x² - 3x + 7x³
d) A - B = 15x² - 13x
e) C - (B + A) = 4x² + 10 x
6 - qual é o valor numérico do perímetro P, se x = 5? (selecione para ver a resposta)
P = 6 (x+3)
resposta:selecione para visualizar: P = 48
Multiplicação de polinômios
Monômio por polinômio:
Para multiplicar um monômio por um polinômio basta aplicar a propriedade distributiva, multiplica o monômio por cada termo do polinômio.Você multiplica os coeficientes e depois soma os expoentes da parte literal (se elas forem iguais).
( 2x² + 5x - 8 ) . ( - 5x )
(2x²) . (-5x) + (5x) . (-5x) + (-8) . (-5x)
(-10x²+¹) + (-25x¹+¹) + (40x)
-10x³ - 25x² + 40x
Polinômio por polinômio:
Multiplica cada termo de um polinômio por cada termo do outro polinômio.
podemos montar a conta como se fosse uma multiplicação simples:
5x² + 2x + 3
X 2x +1
_________________
5x² + 2x + 3
10x³ + 4x² + 6x + 0
_________________
10x³ + 9x² + 8x + 3
Portanto, (5x² + 2x + 3) . (2x+1) é igual; á 10x³ + 9x² + 8x + 3.
Divisão de Polinômios
Podemos montar a divisão como uma divisão simples.
6x² - x + 10 | 2x - 1
polinômio 1| polinômio 2
Dividimos o 1º termo do polinômio 1 pelo 1º termo do polinômio 2.
6x² - x + 10 | 2x -1
3x
Multiplica o resultado por cada termo do 2º polinômio e colocamos o oposto do produto obtido embaixo do primeiro monômio, cada monômio deve ficar em baixo de um monômio semelhante. Depois faz a junção dos termos.
6x² - x + 10 | 2x -1
-6x² +3x + 0 3x
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2x + 10
Divide o 1º termo do polinômio obtido(2x) pelo 1º termo do polinômio 1(2x)
6x² - x + 10 | 2x -1
-6x² +3x + 0 3x +1
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2x + 10
O resultado obtido será multiplicado pelos dois termos do polinômio 2, o oposto do resultado ficara em baixo do resto, cada monômio ficara em baixo de um monômio semelhante, gora junta os monômios semelhantes, formando o resto da divisão.
6x² - x + 10 | 2x -1
-6x² +3x + 0 3x +1
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2x + 10
-2x + 1
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